朋友们，很多人可能对初二数学难题和求20道初二数学难题不是很了解，所以今天我来和大家分享一些关于初二数学难题和求20道初二数学难题的知识，希望能够帮助大家更好地了解这个话题。

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初二（上）数学难题

没有图，仔细看叙述过程
首先，将△BCF绕C点逆时针旋转，使得B点和A点重合，令F点的新位置为G点。
由于∠A=∠B=45°（因为△ABC为等腰直角三角形AC=BC，∠ACB=90°）
所以∠GAE=90°
且 AG=BF
然后，连接G、E两点。
在△CEG和△CEF中
CF=CG，CE为公共边
且 ∠ECG=∠FCE
所以△CEG和△CEF全等
因此 EG=EF
由于△AEG为直角三角形
所以 EG^2=AG^2+AE^2
所以得到 AE^2+BF^2=EF^2
证毕//

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求20道初二数学难题

1在△ABC中，∠A=50°AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于点D，则∠DBC的度数是_____。
2AO垂直于OB，一只猫在A处发现B处一只老鼠向洞口O逃窜，于是以和鼠相同的速度追捕这只老鼠，请画出（或讲出过程）猫能最快截住老鼠的的⒈若等腰三角形的一个外角是80°,则它的三个内角的度数分别是____.
若等腰三角形的一个外角是150°,则它的三个内角的度数分别是____.
⒉等腰三角形的两边长分别为4CM和9CM,则周长为____CM.
⒊等腰三角形的周长是20,有一边长是8,那么其他两边的长是_____.
⒋在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,则∠B=____.
⒌等腰三角形两腰上的高所夹的锐角为70°,则等腰三角形三个内角的度数分别为________.
⒍已知等腰△ABC的周长等于24CM,且底边减去一腰长的差为3CM,那么这个三角形的底边长是_____.
⒎在三角形ABC中,若∠A=46°,∠B=67°,则△ABC是_______三角形.
⒏在∠AOB中,OP是其角平分线,且PE⊥OA于E,PF⊥OB于F,则PE与PF的关系是______.
位置C点，并简要说明
9.(1)当k为何值时，方程组2x-y=k+1 (1) 的解是x=y
(2)x+2y=2k
10.以知a=1,b=2
求1/ab+1/
11.小明房间的面积是10.8平方米，房间地地面恰由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少?
12.在等腰梯形ABCD中，BC平行AD，AB=DC，BC=2AD=4cm，BD垂直CD，CA垂直AB，垂足分别为D、A，E是边BC的中点。
（1）判断三角形ADE的形状（简述理由）。并求其周长。
（2）求AB的长
（3）AC与DE是否互相垂直平分？请说明理由。
13.某公司在A,B两地分别有同型号的机器17台和15台,现要运往甲地18台,乙地14台,从A,B两地运往甲、乙两地的费用是：
甲地（元/台） 乙地(元/台)
A地 600 500
B地 400 800
(1)如果从A地运往甲地x台,求完成以上调运所需总费用y(元)与x(台)的函数关系式
(2)若公司设计最佳调运方案,使总费用最少,那么方案需要多少费用?为什么?
14.某电脑学校进行打字速度测试：给出一定的字数，时间不限。每四人一组，进行小组比赛。其中一组情况是这样的：若单独完成这项打字任务，则甲需24小时，乙需要20小时丙需要16小时丁12小时（1）若甲乙丙丁甲乙丙丁……的次序轮流打字，每一轮中每人各打1小时，则需要多少时间完成？（2）假若你是这是个人的指导教师，能否把（1）中所说的甲乙丙丁的次序作适当调整，是完成这项打字任务至少提前半小时？（答案要求：如认为不能，须说理由，如认为能，须至少说出一种轮流的次序，冰球出相应能提前多少时间完成打字任务）
15己知：a2+2a+b2-4b+5=0，求ab的值？
16己知：a、b、c均为正有理数，且3a3+6a2b-3a2c-6abc=0求证：a=c
17己知：有理数x、y、z，满足(x2-xy+y2)2+(z+3)2=0，那么x3+y3+z3=______________。
18(a-b)n=_______(b-a)n（n是奇数）
19A.B两公司分别在生产同类型机器,12台和8台.现卖给C工厂20台,D工厂10台.已知A公司到C工厂和D工厂的运费分别为80元和100元.B公司到C工厂和D工厂分别为60元和120元.(1)设A公司卖给C工厂奇迹X台,用含X的代数式表示总运费Y元.(2)探求运费不超过2280元,共有几种方案?写出最便宜那种.(3)X取何值时,A的运费比B的运费多?
20已知点O是三角形ABC的边AC上任意一点（不与AC）重合，过点O作直线l//BC,直线l与角BCA的平分线相交与点E，与角BCA的外角平分线相交与点F
1、OE与PF是否相等？为什么？
2、当点O在何处时，四边形AECF为矩形？请说明理由。

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初二数学哪些是难点，比较难学

通过对历年的中考进行综合分析发现,中考试卷中几乎50%以上的考点都会在初二的知识点中出现,而多数考试的重点难点和热点也会在初二中涉及,尤其是在数学上,得初二数学才能得中高考数学的天下.
(一)一次函数与反比例函数
初二我们接触的函数知识将贯穿初高中学习整个过程,是代数学习的重点内容,也是解决综合问题的“强力工具”,它的学习效果,直接影响到中考中中难档次题的解答.
1、采用类比的方法,积累学习函数的常规顺序,这将会使得你在函数繁杂的内容中找到方便记忆和调用知识的捷径.如一般函数的学习都会是按照以下顺序：剖析定义,表示方法,对应认识函数的图象与性质,从函数的观点再认识以前学习过的对应的方程和不等式(组),实际应用.
2、常见的考察热点难点集中在其中数形结合的这部分内容上,大家可以有意识的在老师的指导下进行题目的归纳压缩、方法优化.
其实整式、分式、二次根式的学习也是有其类似之处的,如果我们从类比的角度去学习,将得到事半功倍的效果.
(二)全等三角形
这部分内容相对比较灵活,定理逐渐增多,几何证明要求逐渐增加,很容易出现“虚假掌握”的情况(看解答都会,自己写总觉得“差不多”,实际上总达不到解题要求).是特别体现几何学习中基础知识重要性和反思小结、解题策略重要性的地方.
1、重视基本格式.很多同学一开始不习惯几何推理的写法,其实有个很好的办法,定期重复书写一些重点题目,特别需要一字不差的落实.
2、收集常见的基本图.在处理几何问题时,如果能够很快找到“眼熟”的图形,就很快可以找到解题的突破点.
3、定期反思小结.几何问题中,题目会显得比代数问题杂乱,不能仅靠做大量的题来“应对”下一道“新题”,特别是以后到了四边形,内容更加复杂,做不过来所有的题,更别提初三复习中那么多的综合几何题了.因此,我们需要在早期养成定期反思小结的习惯.
很高兴为你解答有用请采纳

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初二数学中最难的十道题 有的进

1一个多边形除了一个内角之外,其余各角之和是2570度,则这个内角数是
A,120度 B130度 C90度 D105度
2,一个三位数,三位数之和是17,百位上的数字与十位上的数字和比个位数大3,如果把百位上的数字与个位上的数字对调,既新得的数比原来数小198,则原数为
A 971 B917 C718 D791
3.已知一次函数y=ax+b的图象经过(0,2)点,它与坐标轴围成一个等腰直角三角形,则a的值为()
A 正负1 B1 C-1 D 不确定
4.N边形内角和的平均值与(N+2)边形的平均值之和为255度,那么N的值为
A 6 B7 C8 D9
5.设凸边形(N大于等于4)内角出现锐角的最多个数为M,出现钝角的最少次数为D,则M+D的值为
A 3 B4 C大于4的整数 D不能确定
1.B 多边形内角和是180(N+2),N为多边形边数.算出2570附近的多边形内角的的可能值来.
2.B 此题只需确认出个位是7就可以用排除法了.
3.A 自己画画看.
4.A 此题代入法比直接用等式解简单得多.
5.B 我认为这是五题里比较难的一道了,多边形外角和为360度.所以内角最多只能有3个,因为一个内角为锐角就有一个外角为钝角,有4个锐角的话,外角和就大于360度了.而设凸边形(N大于等于4)的平均度度数大于90,所以至少有一个钝角.这是我的想法.

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初二数学上册难题经典的

1．实数m＝20053－2005，下列各数中不能整除m的是（ ）
（A）2006 （B）2005 （C）2004 （D）2003
2．a，b，c，d是互不相等的正整数，且abcd＝441，那么a＋b＋c＋d的值是（ ）
（A）30 （B）32 （C）34 （D）36
3．三角形三边的长都是正整数，其中最长边的长为10，这样的三角形有（ ）
（A）55种 （B）45种 （C）40种 （D）30种
4．已知m，n是实数，且满足m2＋2n2＋m－ n＋ ＝0，则－mn2的平方根是（ ）
（A） （B）± （C） （D）±
5．某校初一、初二年级的学生人数相同，初三年级的学生人数是初二年级学生人数的 ．已知初一年级的男生人数与初二年级的女生人数相同，初三年级男生人数占三个年级男生人数的 ，那么三个年级女生人数占三个年级学生人数的（ ）
（A） （B） （C） （D）
6．如图1，点E、F、G、H、M、N分别在△ABC的BC、AC、AB边上，且NH∥MG∥BC，ME∥NF∥AC，GF∥EH∥AB．有黑、白两只蚂蚁，它们同时同速从F点出发，黑蚁沿路线F→N→H→E→M→G→F爬行，白蚁沿路线F→B→A→C→F爬行，那么（ ）
（A）黑蚁先回到F点 （B）白蚁先回到F点
（C）两只蚂蚁同时回到F点 （D）哪只蚂蚁先回到F点视各点的位置而定
7．一个凸多边形截去一个角后形成的多边形的内角和是2520°，则原多边形的边数是（ ）
（A）14 （B）15 （C）15或16 （D）15或16或17
8．Let a be integral part of and b be its decimal part．Let c be the integral part of and d be the decimal part.．if ad－bc＝m，the（ ）
（A）－2＜m＜－1 （B）－1＜m＜0 （C）0＜m＜1 （D）1＜m＜2
（英汉词典：integral part 整数部分；decimal part 小数部分）
9．对a，b，定义运算“＊”如下：a＊b＝ 已知3＊m＝36，则实数m等于（ ）
（A）2 （B）4 （C）±2 （D）4或±2
10．将连续自然数1，2，3，…，n（n≥3）的排列顺序打乱，重新排列成a1，a2，a3，…，an．若(a1－1)(a2－2)(a3－3)…(an－n)恰为奇数，则（ ）
（A）一定是偶数 （B）一定是奇数
（C）可能是奇数，也可能是偶数 （D）一定是2m－1（m是奇数）
二、A组填空题（每小题4分，共40分）
11．已知a、b都是实数，且a＝ ，b＝ ，b＜ ＜2a，那么实数x的取值范围是_________．
12．计算 －20062的结果是__________．
13．已知x＝2 ＋1，则分式 的值等于__________．
14．一个矩形各边的长都是正整数，而且它的面积的数量等于其周长的量数的2倍，这样的矩形有__________个．
15．Suppose that in Fig.2，the length of side of square ABCD is 1，E and F are mid－points of CD and AD respectively ，GE and CF intersect at a point P．Then the length of line segment CP is __________．
（英汉词典：figure（缩写Fig.）图；length 长度；square 正方形；mid－point中点；intersect 相交；line segment 线段）
16．要使代数式 有意义，实数x的取值范围是____________．
17．图3的梯形ABCD中，F是CD的中点，AF⊥AB，E是BC边上的一点，且AE＝BE．若AB＝m（m为常数），则EF的长为__________．
18．A，n都是自然数，且A＝n2＋15n＋26是一个完全平方数，则n等于__________．
19．一个长方体的长、宽、高均为整数，且体积恰好为2006cm3，现将它的表面积涂上红色后，再切割成边长为1cm的小正方体，如果三面为红色的小正方体有178个，那么恰好有两面为红色的小正方体有________个．
20．一条信息可以通过如图4所示的网络按箭头所指方向由上往下传送，例如到达点C2的信息可经过B1或B2送达，共有两条途径传送，则信息由A点传送到E1、E2、E3、E4、E5的不同途径共有________条．
三、B组填空题（每小题8分，共40分．每小题两个空，每空4分．）
21．某学校有小学六个年级，每个年级8个班；初中三个年级，每个年级8个班；高中三个年级，每个年级12个班．现要从中抽取27个班做调查研究，使得各种类型的班级抽取的比例相同，那么小学每个年级抽取________个班，初中每个年级抽取________个班．
22．矩形ABCD中，AB＝2，AB≠BC，其面积为S，则沿其对称轴折叠后所得的新矩形的对角线长为__________或__________．
23．已知m，n，l都是两位正整数，且它们不全相等，它们的最小公倍数是385，则m＋n＋l的最大值是__________，最小值是__________．
24．某工程的施工费用不得超过190万元．该工程若由甲公司承担，需用20天，每天付费10万元；若由乙公司承担，需用30天，每天付费6万元．为缩短工期，决定由甲公司先工作m天，余下的工作由乙公司完成，那么m＝________，完工共需要__________天．
25．将2006写成n（n≥3）个连续自然数的和，请你写出两个表达式：
（1）__________________________________；（2）__________________________________．

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初二数学几何难题！

△ABP全等于△ABQ，这知道吧？
所以BP=DQ，因为BC=DC，所以PC=QC，所以△QPC使等腰直角三角形，设BP为Xcm,因为PC=QC=5-X，所以QP=10-5倍根号3(你是初二的，可以用勾股定理，我是用三角函数）然后因为QP=AP，所以
BP的平方+AB的平方=AP的平方，从而就可以得出X，然后代入2.3问。

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求初二数学经典难题

计算类：

通过计算，探索规律：

1×2×3×4+1=25=5²

2×3×4×5+1=121=11²

3×4×5×6+1=361=19²

............

（1）用含有n的等式表示你过发现的规律：

答：n(n+1)(n+2)(n+3)+1

=n(n+3)(n+2)(n+1)+1

=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1

=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1

=(n^2+3n+1)^2

（2）不用计算器计算：100×101×102×103+1=？

答：100×101×102×103+1

=(100^2+3×100+1)^2

=10301^2

几何类：

如图（1）DO平分∠EDC，探究∠E，∠C，∠DOC的关系；

答：由三角形外角定理，有：∠POC＝∠1＋∠E，①

由三角形内角和定理，有：∠POC＋∠2＋∠C＝180°，②

①+②得：2∠POC＋∠C＝180°＋∠E，∴∠POC＝90°＋（∠E－∠C）/2。

（2）在直角坐标系中，第一象限AB方向放有一个平面镜，一束光线CD经过反射的反射光线是DE，法线DH交y轴于点H．交x轴于点F（∠DCE＞∠DEC），若平面镜AB绕点D旋转，则是否存在一个正整数k，使∠DCE -∠DEC = k ∠OHF．若存在，请求出k值，若不存在，请说明理由；

答：由第一个问题的结论，有：∠PFE＝90°＋（∠C－∠E）/2，

由三角形外角定理，有：∠PFE＝∠HOF＋∠OHF＝90°＋∠OHF。

上述两式相减，得：（∠C－∠E）/2－∠OHF＝0，得：∠C－∠E＝2∠OHF。

∴存在正整数k，使∠C－∠E＝k∠OHF成立，其中k＝2。

（3）在（2）的条件下，在E点处水平放第二个平面镜，如图所示，光线CD经过二次反射后，反射光线为EG．射线CD、EG的反向延长线交于点P．求证：∠P = 2∠OHF。

答：由第二个问题的结论，有：∠ACE－∠AEC＝2∠OHF。

由三角形外角定理，有：∠ACE＝∠P＋∠CEP。

在FE的延长线上任取一点Q，则有：∠AEC＝∠GEQ＝∠CEP。

∴∠P＋∠CEP－∠CEP＝2∠OHF，得：∠P＝2∠OHF。

应该可以吧，O(∩_∩)O~

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初二数学十大难题汇总

2000
2.25
a^4/(a+b)^2+b^4*(a+b)^2+a^3*b+b^3*a
7x^2+2x+8
a=-2,b=1
40,40
4(是等腰直角三角形BPQ)
100
a=5,b=3;a=17,b=7
0
m=2-a
m^10+m^9+m^8+…+m-47=(2-a)/(a-1)*(1-(2-a)^10)-47

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八年级下册数学难题,越多越好急!谢谢!!

八年级下册数学好题难题精选
分式：
一：如果abc=1,求证 + + =1
解：原式= + +
= + +
=
=1
二：已知 + = ，则 + 等于多少？
解： + =
=
2( ) =9
2 +4 +2 =9
2（ ）=5
=
+ =
三：一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t分。求两根水管各自注水的速度。
解：设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x。
由题意得：
解之得：
经检验得： 是原方程解。
∴小口径水管速度为 ，大口径水管速度为 。
四：联系实际编拟一道关于分式方程 的应用题。要求表述完整，条件充分并写出解答过程。
解略
五：已知M＝ 、N＝ ，用“+”或“－”连结M、N,有三种不同的形式，M+N、M-N、N-M，请你任取其中一种进行计算，并简求值，其中x：y=5：2。
解：选择一： ，
当 ∶ =5∶2时， ，原式= ．
选择二： ，
当 ∶ =5∶2时， ，原式= ．
选择三： ，
当 ∶ =5∶2时， ，原式= ．
反比例函数：
一：一张边长为16cm正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E”图案如图1所示．小矩形的长x（cm）与宽y（cm）之间的函数关系如图2所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）“E”图案的面积是多少？
（3）如果小矩形的长是6≤x≤12cm，求小矩形宽的范围.
解：（1）设函数关系式为
∵函数图象经过（10，2） ∴ ∴k=20， ∴
（2）∵ ∴xy=20， ∴
（3）当x=6时，
当x=12时，
∴小矩形的长是6≤x≤12cm，小矩形宽的范围为
二：是一个反比例函数图象的一部分，点 ， 是它的两个端点．
1
1
10
10
A
B
O
x
y
（1）求此函数的解析式，并写出自变量 的取值范围；
（2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例．
解：（1）设 ， 在图象上， ，即 ，
，其中 ；
（2）答案不唯一．例如：小明家离学校 ，每天以 的速度去上学，那么小明从家去学校所需的时间 ．
三：如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数 的图象上，则图中阴影部分的面积等于 .
答案：r=1
S=πr²=π
四：如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2， ），且P（ ，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．
图11
图12
解：（1）设正比例函数解析式为 ，将点M（ ， ）坐标代入得 ，所以正比例函数解析式为
同样可得，反比例函数解析式为
（2）当点Q在直线DO上运动时，
设点Q的坐标为 ，
于是 ，
而 ，
所以有， ，解得
所以点Q的坐标为 和
（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，
而点P（ ， ）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．
因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为 ，
由勾股定理可得 ，
所以当 即 时， 有最小值4，
又因为OQ为正值，所以OQ与 同时取得最小值，
所以OQ有最小值2．
由勾股定理得OP＝ ，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是
．
五：如图，在平面直角坐标系中，直线AB与Y轴和X轴分别交于点A、点8，与反比例函数y一罟在第一象限的图象交于点c(1，6)、点D(3，x)．过点C作CE上y轴于E，过点D作DF上X轴于F．
(1)求m，n的值；
(2)求直线AB的函数解析式；
勾股定理：
一：清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王．近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，则第一步： ＝m；第二步： =k；第三步：分别用3、4、5乘以k，得三边长”．
（1）当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；
（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程．
解：（1）当S=150时，k= = =5，
所以三边长分别为：3×5=15，4×5=20，5×5=25；
（2）证明：三边为3、4、5的整数倍，
设为k倍，则三边为3k，4k，5k，
而三角形为直角三角形且3k、4k为直角边．
其面积S= （3k）·（4k）=6k2，
所以k2= ，k= （取正值），
即将面积除以6，然后开方，即可得到倍数．
二：一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
答案：C
三：如图，甲、乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的 处目测得点 与甲、乙楼顶 刚好在同一直线上，且A与B相距 米，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是 米．
20米
乙
C
B
A
甲
10米
？米
20米
答案：40米
四：恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷 和世界级自然保护区星斗山 位于笔直的沪渝高速公路 同侧， 、 到直线 的距离分别为 和 ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区 ，向 、 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（ 与直线 垂直，垂足为 ）， 到 、 的距离之和 ，图（2）是方案二的示意图（点 关于直线 的对称点是 ，连接 交直线 于点 ）， 到 、 的距离之和 ．
（1）求 、 ，并比较它们的大小；
（2）请你说明 的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系， 到直线 的距离为 ，请你在 旁和 旁各修建一服务区 、 ，使 、 、 、 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
B
A
P
X
图（1）
Y
X
B
A
Q
P
O
图（3）
B
A
P
X
图（2）
解:⑴图10（1）中过B作BC⊥AP,垂足为C,则PC＝40,又AP＝10,
∴AC＝30
在Rt△ABC 中，AB＝50 AC＝30 ∴BC＝40
∴ BP＝
S1＝
⑵图10（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C＝50，
又BC＝40
∴BA’＝
由轴对称知：PA＝PA’
∴S2＝BA’＝
∴ ﹥
(2)如 图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA’，由轴对称知MA＝MA’
∴MB+MA＝MB+MA’﹥A’B
∴S2＝BA’为最小
（3）过A作关于X轴的对称点A’, 过B作关于Y轴的对称点B’，
连接A’B’,交X轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q即为所求
过A’、 B’分别作X轴、Y轴的平行线交于点G,
A’B’＝
∴所求四边形的周长为
D
C
E
B
G
A
F
五：已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求AB的长．
解：（1）证明： 于点 ，
D
C
E
B
G
A
F
．
，
．
连接 ，
AG＝AG,AB＝AF，
．
．
（2）解：∵AD＝DC,DF⊥AC，
．
．
，
．
．
四边形：
一：如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形.
(1) 当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形；
E
F
D
A
B
C
(2) 当AB = AC时，顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件.
解：(1) ∵△ABE、△BCF为等边三角形，
∴AB = BE = AE，BC = CF = FB，∠ABE = ∠CBF = 60°.
∴∠FBE = ∠CBA.
∴△FBE ≌△CBA.
∴EF = AC.
又∵△ADC为等边三角形，
∴CD = AD = AC.
∴EF = AD.
同理可得AE = DF.
∴四边形AEFD是平行四边形.
(2) 构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段.
当图形为菱形时，∠ BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形）
当图形为线段时，∠BAC = 60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）.
二：如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF。
（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明。
（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。
（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积。
解：（1）（选证一）
（选证二）
证明：
（选证三）
证明：
（2）四边形ABDF是平行四边形。
由（1）知， 、 、 都是等边三角形。
（3）由（2）知，）四边形ABDF是平行四边形。
三：如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F．
（1）点D是△ABC的________心；
（2）求证：四边形DECF为菱形．
解：(1) 内.
(2) 证法一：连接CD，
∵ DE∥AC，DF∥BC，
图7
∴ 四边形DECF为平行四边形，
又∵ 点D是△ABC的内心，
∴ CD平分∠ACB，即∠FCD＝∠ECD，
又∠FDC＝∠ECD，∴ ∠FCD＝∠FDC
∴ FC＝FD，
∴ □DECF为菱形．
证法二：
过D分别作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，DI⊥AC于I．
∵AD、BD分别平分∠CAB、∠ABC，
∴DI=DG，
DG=DH．
∴DH=DI．
∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF为平行四边形，
∴S□DECF=CE·DH =CF·DI，
∴CE=CF．
∴□DECF为菱形．
四：在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q．
(1) 当点P在线段ED上时（如图1），求证：BE＝PD＋ PQ；
（2）若 BC＝6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与 x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（3）在②的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连接QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G（如图2），求线段PG的长。
解：（1）证明：∵∠A=90° ∠ABE=30° ∠AEB=60°
∵EB=ED ∴∠EBD=∠EDB=30°
∵PQ∥BD ∴∠EQP=∠EBD ∠EPQ=∠EDB
∴∠EPQ=∠EQP=30° ∴EQ=EP
过点E作EM⊥OP垂足为M ∴PQ=2PM
∵∠EPM=30°∴PM= PE ∴PE= PQ
∵BE=DE=PD+PE ∴BE=PD+ PQ
（2）解：由题意知AE= BE ∴DE=BE=2AE
∵AD=BC=6 ∴AE=2 DE=BE=4
当点P在线段ED上时（如图1）
过点Q做QH⊥AD于点H QH= PQ= x
由（1）得PD=BE- PQ=4- x
∴y= PD·QH=
当点P在线段ED的延长线上时（如图2）过点Q作QH⊥DA交DA延长线于点H’ ∴QH’= x
过点E作EM’⊥PQ于点M’ 同理可得EP=EQ= PQ ∴BE= PQ-PD
∴PD= x-4 y= PD·QH’=
（3）解：连接PC交BD于点N（如图3）∵点P是线段ED中点
∴EP=PD=2 ∴PQ= ∵DC=AB=AE·tan60°=
∴PC= =4 ∴cos∠DPC= = ∴∠DPC=60°
∴∠QPC=180°-∠EPQ-∠DPC=90°
∵PQ∥BD ∴∠PND=∠QPC=90° ∴PN= PD=1
QC= = ∵∠PGN=90°-∠FPC ∠PCF=90°-∠FPC
∴∠PCN=∠PCF……………1分 ∵∠PNG=∠QPC=90° ∴△PNG～△QPC
∴ ∴PG= =
五：如图,这是一张等腰梯形纸片,它的上底长为2,下底长为4,腰长为2,这样的纸片共有5张.打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形,那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形?分别画出它们的示意图,并写出它们的周长.
解：如图所示
六：已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED.求证:AE平分∠BAD.
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=∠C=∠BAD=90° AB=CD
∴∠BEF+∠BFE=90°
∵EF⊥ED∴∠BEF+∠CED=90°
∴∠BEF=∠CED∴∠BEF=∠CDE
又∵EF=ED∴△EBF≌△CDE
∴BE=CD
∴BE=AB∴∠BAE=∠BEA=45°
∴∠EAD=45°
∴∠BAE=∠EAD
∴AE平分∠BAD
七：如图,矩形纸片ABCD中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B落在边AD的E点上,BG=10.
(1)当折痕的另一端F在AB边上时,如图(1).求△EFG的面积.
(2)当折痕的另一端F在AD边上时,如图(2).证明四边形BGEF为菱形,并求出折痕GF的长.
图（1）
图（2）
解:(1)过点G作GH⊥AD,则四边形ABGH为矩形,∴GH=AB=8,AH=BG=10,由图形的折叠可知△BFG≌△EFG,∴EG=BG=10,∠FEG=∠B=90°；∴EH=6,AE=4,∠AEF+∠HEG=90°,∵∠AEF+∠AFE=90°,∴∠HEG=∠AFE,又∵∠EHG=∠A=90°,∴△EAF∽△EHG,∴ ,∴EF=5,∴S△EFG= EF·EG= ×5×10=25.
(2)由图形的折叠可知四边形ABGF≌四边形HEGF,∴BG=EG,AB=EH,
∠BGF=∠EGF,∵EF∥BG，∴∠BGF=∠EFG,∴∠EGF =∠EFG,∴EF=EG,
∴BG=EF,∴四边形BGEF为平行四边形,又∵EF=EG,∴平行四边形BGEF为菱形；
连结BE，BE、FG互相垂直平分，在Rt△EFH中,EF=BG=10,EH=AB=8,由勾股定理可得FH=AF=6，∴AE=16，∴BE= =8 ，∴BO=4 ，∴FG=2OG=2 =4 。
八：（1）请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个
不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上．（保留作图痕迹）
（2）写出你的作法．
解：（1）所作菱形如图①、②所示．
说明：作法相同的图形视为同一种．例如类似图③、图④的图形视为与图②是同一种．
（2）图①的作法：
作矩形A1B1C1D1四条边的中点E1、F1、G1、H1；
连接H1E1、E1F1、G1F1、G1H1．
四边形E1F1G1H1即为菱形．
图②的作法：
在B2C2上取一点E2，使E2C2＞A2E2且E2不与B2重合；
以A2为圆心，A2E2为半径画弧，交A2D2于H2；
以E2为圆心，A2E2为半径画弧，交B2C2于F2；
连接H2F2，则四边形A2E2F2H2为菱形．
A
B
C
P
D
E
九：如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.
（1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD；
（2）设AP=x, △PBE的面积为y.
① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.
解：（1）证法一：
① ∵ 四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴ BC=DC, ∠BCP=∠DCP=45°.
∵ PC=PC，
∴ △PBC≌△PDC （SAS）.
∴ PB= PD， ∠PBC=∠PDC.
又∵ PB= PE ，
∴ PE=PD.
A
B
C
D
P
E
1
2
H
② （i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时，
∵ PB=PE，
∴ ∠PBE=∠PEB，
∴ ∠PEB=∠PDC，
∴ ∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，
∴ ∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°，
∴ PE⊥PD. ）
（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD.
（iii）当点E在BC的延长线上时，如图.
∵ ∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，
∴ ∠DPE=∠DCE=90°，
∴ PE⊥PD.
综合（i）（ii）（iii）, PE⊥PD.
A
B
C
P
D
E
F
（2）① 过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE.
∵ AP=x，AC= ，
∴ PC= - x，PF=FC= .
BF=FE=1-FC=1-( )= .
∴ S△PBE=BF·PF= ( ) .
即 (0＜x＜ ).
② .
∵ ＜0，
∴ 当 时，y最大值 .
（1）证法二： A
B
C
P
D
E
F
G
1
2
3
① 过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F. 如图所示.
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ 四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，
△AGP和△PFC都是等腰直角三角形.
∴ GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°.
又∵ PB=PE，
∴ BF=FE，
∴ GP=FE，
∴ △EFP≌△PGD （SAS）.
∴ PE=PD.
② ∴ ∠1=∠2.
∴ ∠1+∠3=∠2+∠3=90°.
∴ ∠DPE=90°.
∴ PE⊥PD.
（2）①∵ AP=x，
∴ BF=PG= ，PF=1- .
∴ S△PBE=BF·PF= ( ) .
即 (0＜x＜ ).
② .
∵ ＜0，
∴ 当 时，y最大值 .
十：如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (a b，k 0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．
（3）在第(2)题图5中，连结 、 ，且a=3，b=2，k= ，求 的值．
解: (1)①
② 仍然成立
在图（2）中证明如下
∵四边形 、四边形 都是正方形
∴ ， ，
∴
∴ （SAS）
∴
又∵
∴ ∴
∴
（2） 成立， 不成立
简要说明如下
∵四边形 、四边形 都是矩形，
且 ， ， ， ( ， )
∴ ，
∴
∴
∴
又∵
∴ ∴
∴
（3）∵ ∴
又∵ ， ，
∴ ∴
数据的分析：
一：4．为了帮助贫困失学儿童，某团市委发起“爱心储蓄”活动，鼓励学生将自己的压岁钱和零花钱存入银行，定期一年，到期后可取回本金，而把利息捐给贫困失学儿童.某中学共有学生1200人，图1是该校各年级学生人数比例分布的扇形统计图，图2是该校学生人均存款情况的条形统计图.
（1）九年级学生人均存款元；
（2）该校学生人均存款多少元？
（3）已知银行一年期定期存款的年利率是2.25%
（“爱心储蓄”免收利息税），且每351元能提供 给一位失学儿童一学年的基本费用，那么该校一学年能帮助多少为贫困失学儿童。
解：（1）240
（2） 解法一：
七年级存款总额：400×1200×40％ = 192000（元）
八年级存款总额：300×1200×35％ = 126000 （元）
九年级存款总额： 240×1200×25％ = 72000 （元）
（192000+126000+72000）÷ 1200 = 325 （元）
所以该校的学生人均存款额为 325 元
解法二： 400×40％ + 300×35％ + 240×25％ = 325 元
所以该校的学生人均存款额为 325 元
（3）解法一： （192000+126000+72000）×2.25％ ÷351= 25（人）
解法二： 325×1200×2.25％÷351 = 25（人）。
二：如图是连续十周测试甲、乙两名运动员体能训练情况的折线统计图。教练组规定：体能测试成绩70分以上（包括70分）为合格。
⑴请根据图11中所提供的信息填写右表：
⑵请从下面两个不同的角度对运动员体能测试结果进行判断：
①依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙， 的体能测试成绩较好；
平均数
中位数
体能测试成绩合格次数
甲
65
乙
60
②依据平均数与中位数比较甲和乙， 的体能测试成绩较好。
⑶依据折线统计图和成绩合格的次数，分析哪位运动员体能训练的效果较好。
解：（1）如表所示：
平均数
中位数
体能测试成绩合格次数
甲
60
65
2
乙
60
57.5
4
⑵ ①乙；②甲
⑶ 从折线图上看，两名运动员体能测试成绩都呈上升趋势，但是，乙的增长速度比甲快，并且后一阶段乙的成绩合格次数比甲多，所以乙训练的效果较好。
三：如图所示，A、B两个旅游点从2002年至2006年“五、一”的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示．根据图中所示解答以下问题：
（1）B旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？
（2）求A、B两个旅游点从2002到2006年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价；
2002 2003 2004 2005 2006 年
6
5
4
3
2
1
万人
A
B
（3）A旅游点现在的门票价格为每人80元，为保护旅游点环境和游客的安全，A旅游点的最佳接待人数为4万人，为控制游客数量，A旅游点决定提高门票价格．已知门票价格x（元）与游客人数y（万人）满足函数关系 ．若要使A旅游点的游客人数不超过4万人，则门票价格至少应提高多少？
解：(1)B旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是2005年．
(2) ＝ ＝3（万元）
＝ ＝3（万元） ＝ ＝2
＝ ＝
从2002至2006年，A、B两个旅游点平均每年的旅游人数均为3万人，但A旅游点较B旅游点的旅游人数波动大．
(3)由题意，得 5－ ≤4 解得x≥100 100-80＝20
答：A旅游点的门票至少要提高20元。

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求：初二数学难题

在三角形ABC中,AB=AC,P为BC上任意一点,请用学过的知识说明:AB^2—AP^2=PB*PC
过点A作BC的垂线,垂足为D
根据等腰三角形的性质可得:
BD=CD
在直角三角形ABD中,根据勾股定理有
AB^2=BD^2+AD^2
在直角三角形APD中,根据勾股定理有
AP^2=AD^2+PD^2
AB^2-AP^2=BD^2-PD^2=(BD+PD)(BD-PD)
=(CD+PD)(BD-PD)=CP*BP
∴AB^2—AP^2=PB*PC
A.B两个村子在河CD的同侧,A.B两村到河边的距离分别为AC=1千米,BD=3千米,且知CD=3千米,现在要在河边CD上建一自来水厂,向A.B两村输送自来水,铺设水管工程费用为每千米2万元,请你在CD上选择自来水厂位置M,是铺设水管的费用最节省,并求出总费用是多少
延长BD至B’,使BD=B’D,连AB’,交CD于O,O便是铺设水管的费用最省的水厂位置
作AE⊥BD于E
则AE=CD=3
EB’=ED+DB’=AC+DB’=1+3=4
AB’=√(3^2+4^2)=5
AO+BO=AO+OB’=AB=5
铺设水管的总费用F=5*20000=100000元
一张矩形纸片ABCD,长AD=9,宽AB=3,将其折叠,使点D与点B重合求BE和折痕EF的长
因为D与B要重合,所以连接BD,取BD中点O,作EO垂直于BD就是折痕
BD=更号90=3倍更号10
所以BO=3/2倍更号10
因为三角形BOE相似于三角形DAB
所以BE=1/3倍更号10*3/2倍更号10=5
OE=1/3*Be=5/3
所以EF=2OE=10/3

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